Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為的中點．

（1）證明：．

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由面面垂直的性質定理可得平面，結合線面垂直的判定定理可得平面，由線面垂直的定義即可證明；（2）首先建立空間直角坐標系，利用向量的方法求解二面角的問題.

（1）證明：因為平面平面，且平面平面=，又，

所以平面，

所以．

又因為，，

所以平面．

又因為平面，

所以．

（2）解：如圖，設的中點為，作交于，連接．

因為平面，

所以平面，由，且，可得，，兩兩垂直，所以分別以，，所在的直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，．

所以，，．

設平面的一個法向量為，

由，，得

令，得．

平面的一個法向量，

所以．

由圖可知，二面角的余弦值為．