Question

【題目】已知函數為偶函數，函數為奇函數。對任意實數x恒成立.

（1）求函數與；

（2）設，，若對于恒成立，求實數m的取值范圍；

（3）對于（2）中的函數，若方程沒有實數解，實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）.

【解析】

（1）利用函數的奇偶性，列方程組求函數的解析式；

（2）由（1）變形，由不等式 恒成立，，參變分離后恒成立，轉化為求函數的最大值；

（3）首先討論解得情況，當時，滿足條件，當時，方程有兩個根，，假設，由于函數開口向上，故沒有實數解，而的最小值為，列等價的不等式組求解，當時， ， ，時，，而無解，滿足條件，綜上以上三種情況求得的取值范圍.

（1） ，

函數為偶函數，函數為奇函數

即 ，兩式相加得

，

；

（2）

，

，

不等式等價于 恒成立，

參變分離后恒成立，

當時，是單調遞減函數，

時，函數取得最大值-3，

即；

（3）首先討論解得情況， ，

當時，

解得：，

即當時，不管為何值時，無解，即也無解；

當時，方程有兩個根，，假設，由于函數開口向上，故沒有實數解，

而

函數的最小值為，故方程的大根小于，即

故有，

當時， ， ，時，，而無解，滿足條件，

綜上所述。