Question

【題目】已知函數 （為常數）

（Ⅰ）若是定義域上的單調函數，求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在兩個極值點，且，求的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 。

【解析】

（Ⅰ）由是單調函數可得在定義域上恒成立，然后轉化為二次方程根的分布的問題處理即可．（Ⅱ）由題意得是方程的兩根，故得，不妨令，然后將表示為的函數，最后根據函數的單調性可求得最大值．

（Ⅰ）∵，，

∴．

設，，

∵是定義域上的單調函數，函數的圖象為開口向上的拋物線，

∴在定義域上恒成立，即在上恒成立．

又二次函數圖象的對稱軸為，且圖象過定點，

∴，或，解得.

∴實數的取值范圍為．

（Ⅱ）由（I）知函數的兩個極值點滿足，

所以，

不妨設，則在上是減函數，

∴，

∴

．

令，則，

又，即，

解得，

故，

∴．

設，

則，

∴在上為增函數．

∴，

即．

所以的最大值為．