Question

【題目】如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是， 是的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意由即可證得平面.

(2)利用題意找到二面角的平面角為；

(3)利用(2)中的結論找到線面角，計算可得直線與平面所成角的正弦值為.

試題解析：（1）設與相交于點，連接，則為中點，

為中點， .

又平面， 平面

平面.

（2）正三棱柱， 底面.

又， ，

就是二面角的平面角.

， ， .

，即二面角的大小是.

（3）由（2）作， 為垂足.

，平面平面，平面平面，

平面，

平面， .

， 平面，連接，則就是直線與平面所成的角.

， ， 在中， ，

， .

.

直線與平面所成的角的正弦值為.

（備注：也可以建立空間直角坐標系來解答.）