Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為．

（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn)，求△PAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）4．

【解析】

（1）由圓C的參數(shù)方程消去t得到圓C的普通方程，由直線l的極坐標(biāo)方程，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；

（2）將A與B的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，并求出|AB|的長(zhǎng)，根據(jù)P在圓C上，設(shè)出P坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離，利用余弦函數(shù)的值域確定出最小值，即可確定出三角形PAB面積的最小值．

解：（1）由，化簡(jiǎn)得：，

消去參數(shù)t，得（x+5）2+（y﹣3）2＝2，

∴圓C的普通方程為（x+5）2+（y﹣3）2＝2．

由ρcos（θ），化簡(jiǎn)得ρcosθρsinθ，

即ρcosθ﹣ρsinθ＝﹣2，即x﹣y+2＝0，

則直線l的直角坐標(biāo)方程為x﹣y+2＝0；

（2）將A（2，），B（2，π）化為直角坐標(biāo)為A（0，2），B（﹣2，0），

∴|AB|2，

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5cost，3sint），

∴P點(diǎn)到直線l的距離為d，

∴dmin2，

則△PAB面積的最小值是S224．