Question

【題目】設二次函數（，），關于的不等式的解集中有且只有一個元素.

（1）設數列的前項和（），求數列的通項公式；

（2）設（），則數列中是否存在不同的三項能組成等比數列？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ,(2)見解析

【解析】

（1）由等式的解集中有且只有一個元素可利用判別式等于0算出，，有關通項與前項和的等式，一般先令，再利用，，推導的通項公式即可。
（2）求出的通項公式，利用等比數列的性質，建立等式即可分析得出結論。

（1）因為關于的不等式的解集中有且只有一個元素，

所以二次函數的圖象與軸相切，

于是，考慮到，所以.

從而，故數列的前項和.

于是；

當時，.

故數列的通項公式為．

（2）.

假設數列中存在三項（正整數互不相等）成等比數列，

則，即，

整理得.

因為都是正整數，所以，

于是，即，從而與矛盾.

故數列中不存在不同三項能組成等比數列.