Question

【題目】已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0時，有 ＞0．
（Ⅰ）證明f（x）在[﹣1，1]上是增函數；
（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0
（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1對x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，
則 ，
∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，
由已知 ，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[﹣1，1]上是增函數；
（Ⅱ）∵f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且在[﹣1，1]上是增函數，
∴不等式化為f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），
∴ ，解得 ；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函數，
∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值為f（1）=1，
要使f（x）≤t2﹣2at+1對x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1t2﹣2at≥0，
設g（a）=t2﹣2at，對a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，
∴ ，
∴t≥2或t≤﹣2或t=0
【解析】（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，則 ，由已知 ，可比較f（x1）與f（x2）的大小，由單調性的定義可作出判斷；（Ⅱ）利用函數的奇偶性可把不等式化為f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），在由單調性得x2﹣1＜3x﹣3，還要考慮定義域；（Ⅲ）要使f（x）≤t2﹣2at+1對x∈[﹣1，1]恒成立，只要f（x）max≤t2﹣2at+1，由f（x）在[﹣1，1]上是增函數易求f（x）max ， 再利用關于a的一次函數性質可得不等式組，保證對a∈[﹣1，1]恒成立；