Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E為BC的中點，AA1⊥平面ABCD． （Ⅰ）證明：平面A1AE⊥平面A1DE；
（Ⅱ）若DE=A1E，試求二面角E﹣A1C﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）依題意 ， ∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，
∵ ，
∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，∴DE⊥AE，
∵AA1⊥平面ABCD，DE平面ABCD，
∴DE⊥AA1 ， ∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，
∵DE平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．
解：（Ⅱ）連接AC，由題可知AC⊥CD，又DE=A1E，故
故以C為原點，CD，CA，CC1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），
D（1，0，0），E（﹣ ， ，0），A1（0， ），
故 =（﹣ ， ，0）， =（0， ）， =（1，0，0），
設面EA1C的一個法向量 =（x1 ， y1 ， z1），則 ，即 ，
令 ，則 =（ ），
設平面DA1C的一個法向量 =（a，b，c），
則 ，取b=﹣ ，得 =（0，﹣ ， ），
故cos＜ ＞= = ，
由圖可知二面角E﹣A1C﹣D為鈍角，∴二面角E﹣A1C﹣D的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）依題意推導出△ABE是正三角形，DE⊥AE，DE⊥AA1 ， 從而DE⊥平面A1AE，由此能證明平面A1AE⊥平面A1DE．（Ⅱ）以C為原點，CD，CA，CC1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣A1C﹣D的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．