Question

設向量

a

=（cosx，1），

b

=（cos（x-

π

3

），-1）
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求x的值；
（Ⅱ）設f（x）=

a

•

b

，x∈（0，

π

2

），求f（x）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平面向量共線（平行）的坐標表示,三角函數中的恒等變換應用

專題：平面向量及應用

分析：（I）利用向量共線定理、兩角和差的正弦公式即可得出；
（II）利用數量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解（ I）∵

a

∥

b

，∴-cosx-cos(x-

π

3

)=0，化為cosx+

1

2

cosx+

3

2

sinx=0，
∴

3

sin(x+

π

3

)=0，
∴x+

π

3

=kπ，解得x=kπ-

π

3

（k∈Z）．
（ II）f（x）=

a

•

b

=cosxcos(x-

π

3

)-1
=cosx(

1

2

cosx+

3

2

sinx)-1
=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx-1
=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x-1
=

1

2

sin(2x+

π

6

)-

3

4

，
∵x∈（0，

π

2

），∴(2x+

π

6

)∈(

π

6

，

7π

6

)，
∴sin(2x+

π

6

)∈(-

1

2

，1]，
∴f（x）∈(-1，-

1

4

]．

點評：本題考查了向量共線定理、兩角和差的正弦公式、數量積運算、倍角公式、正弦函數的單調性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．