Question

利用歸納推理推斷，當(dāng)n是自然數(shù)時，

1

8

（n²-1）[1-（-1）ⁿ]的值（　　）

• A、一定是零
• B、不一定是整數(shù)
• C、一定是偶數(shù)
• D、是整數(shù)但不一定是偶數(shù)

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：分別令n=0，1，2，3，4，5，得到結(jié)果為偶數(shù)，然后分別求出n為偶數(shù)和奇數(shù)時的結(jié)果，問題得以解決．

解答： 解：當(dāng)n=0時，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(02-1)(1-(-1)0)=0，偶數(shù)
當(dāng)n=1時，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(12-1)(1-(-1)1)=0，偶數(shù)
當(dāng)n=2時，

1

8

(n2-1)(1-(-1)2)=

1

8

(22-1)(1-(-1)2)=0，偶數(shù)
當(dāng)n=3時，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(32-1)(1-(-1)3)=2，偶數(shù)
當(dāng)n=4時，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(42-1)(1-(-1)4)=0，偶數(shù)
當(dāng)n=5時，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(52-1)(1-(-1)5)=6，偶數(shù)
當(dāng)n=2k-1，k∈N時，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

((2k-1)2-1)(1-(-1)2k-1)=

1

8

(4k2-4k)×2=k2-k=k(k-1)
因k∈N，所以k，（k-1）中一必有一個是偶數(shù)，k（k-1）必為偶數(shù)．
當(dāng)n=2k時，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

((2k)2-1)(1-(-1)2k)=

1

8

(4k2-4k)×2=0，偶數(shù)
由此猜想

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)必為偶數(shù)．
故選：C

點評：本題考查學(xué)生的歸納推理能力，由特殊到一般是常用歸納方法，屬于基礎(chǔ)題．