Question

甲乙兩人進(jìn)行掰手腕比賽，比賽規(guī)則規(guī)定三分鐘為一局，三分鐘內(nèi)不分勝負(fù)為平局，當(dāng)有一人3局就結(jié)束比賽，否則繼續(xù)進(jìn)行，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每乙甲勝的概率為

1

2

，乙勝的概率為

1

3

，且每局比賽勝負(fù)互不受影響．
（Ⅰ）求比賽4局乙勝的概率；
（Ⅱ）求在2局比賽中甲的勝局?jǐn)?shù)為ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）若規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，比賽進(jìn)行五局，積分有超過5分者比賽結(jié)束，否則繼續(xù)進(jìn)行，求甲得7分的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）4局乙勝，即4局中乙3勝，且第4局為勝，由此能求出比賽4局乙勝的概率．
（II）ξ取0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）甲若得7分，至少進(jìn)行4局或5局比賽，且最后一局甲贏，由此能求出甲得7分的概率．

解答： （本小題滿分為10分）
解：（I）由已知甲贏的概率為

1

2

，平的概率為

1

6

，輸?shù)母怕蕿?span id="cgmsy2g" class="MathJye">

1

3

，
由已知乙贏的概率為

1

3

，平的概率為

1

6

，輸?shù)母怕蕿?span id="0qw2meu" class="MathJye">

1

2

，…．（2分）
4局乙勝，即4局中乙3勝，且第4局為勝
所求的概率為

C

2 3

(

1

3

)2(

1

6

)(

1

3

)+

C

2 3

(

1

3

)2(

1

2

)(

1

3

)=

2

27

．…（5分）
（II）ξ取0，1，2
P（ξ=0）=(

1

3

)2+(

1

6

)2

+C

1 2

(

1

3

)(

1

6

)=

1

4

，
P（ξ=1）=

C

1 2

(

1

2

)(

1

3

)+

C

1 2

(

1

2

)(

1

6

)=

1

2

，
P（ξ=2）=（

1

2

）²=

1

4

，…（7分）

ξ	0	1	2
P	1 4	1 2	1 4

Eξ=0×

1

4

+1×

1

2

+2×

1

4

=1．…（8分）
（Ⅲ）甲若得7分，至少進(jìn)行4局或5局比賽，且最后一局甲贏，
設(shè)比賽進(jìn)行4局事件為P（A），比賽進(jìn)行5局事件為P（B），
P（A）=

C

1 3

(

1

6

)(

1

2

)2(

1

2

)=

1

16

，
P（B）=

C

1 4

(

1

2

)(

1

6

)3(

1

2

)+

C

1 3

(

1

3

)

C

1 4

(

1

6

)(

1

2

)2(

1

2

)=

19

216

，
所以p=P（A）+P（B）=

65

432

．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．