Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M．
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由線面垂直得PA⊥AB，又AB⊥AD，從而AB⊥面PAD，由此能證明面ABM⊥面PCD．
（2）由已知條件推導出M到平面ABCD的距離d=

1

2

PA=2，由此能求出三棱錐M-ABD的體積．

解答： （1）證明：∵PA⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD，
由題意得∠BMD=90°，∴PD⊥BM，
又∵AB∩BM=B，∴PD⊥面ABM，
又PD?面PCD，∴面ABM⊥面PCD．…（6分）
（2）解：∵PA=AD=4，PD⊥面ABM，
∴AM⊥PD，∴PM=DM，（8分）
∵PA⊥平面ABCD，∴M到平面ABCD的距離d=

1

2

PA=2，…（9分）
∵S△ABD=

1

2

×AB×AD=

1

2

×2×4=4，
∴三棱錐M-ABD的體積V=

1

3

×S△ABD×d=

1

3

×4×2=

8

3

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．