Question

【題目】已知函數（a，）.

（1）若，且在內有且只有一個零點，求a的值；

（2）若，且有三個不同零點，問是否存在實數a使得這三個零點成等差數列？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由；

（3）若，，試討論是否存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；a的值為（3）答案不唯一，具體見解析

【解析】

（1），，討論和兩種情況，分別計算函數的單調性，再根據零點個數得到參數.

（2），根據題意，計算得到，，計算得到答案.

（3），，故必須在上有解，解方程得到答案.

（1）若，則，，

若，則在，則，則在上單調遞增，

又，故在上無零點，舍；

若，令，得，，，

在上，，在上單調遞減，

在上，，在上單調遞增，

故，

若，則，在上無零點，舍；

若，則，在上恰有一零點，此時；

若，則，，，

則在和上有各有一個零點，舍；

故a的值為.

（2）因為，則，若有三個不同零點，且成等差數列，可設，

故，則，故，，.

此時，，，故存在三個不同的零點.

故符合題意的a的值為.

（3）若，，，

∴若存在，使得，

必須在上有解.

，

方程的兩根為：，，

只能是，

依題意，即，

即，

又由，得，故欲使滿足題意的存在，則，

∴當時，存在唯一的滿足，

當時，不存在使.