Question

【題目】如圖，在菱形中，，平面平面是線段的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面.

（2）求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，則有平面，

平面，進(jìn)而可證平面平面，即可證明結(jié)論；

（2）由已知，平面平面，可得平面，連接，可證平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，確定坐標(biāo)，求出平面的法向量，進(jìn)而求出直線與平面所成角的正弦，再由三角函數(shù)關(guān)系，即可求出結(jié)論.

（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接.

因?yàn)?/span>，平面平面，

所以平面.

又是的中位線，所以，

又平面平面，所以平面.

又，所以平面平面.

又平面，故平面.

（2）因?yàn)?/span>，平面平面，

平面平面平面，

所以平面.

連接，則，

故四邊形是平行四邊形，

故，從而平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，

設(shè)平面的法向量為，

則，令，則，

平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)直線與平面所成角為，

，

，

所以直線與平面所成角的余弦值為.