Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，右頂點為，上頂點為，過、、三點的圓的圓心坐標為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線（為常數， ）與橢圓交于不同的兩點和．

（ⅰ）當直線過，且時，求直線的方程；

（ⅱ）當坐標原點到直線的距離為，且面積為時，求直線的傾斜角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線的方程為或、直線的傾斜角為或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據圓心在弦中垂線上，分別列出的垂直平分線方程及的垂直平分線方程，求兩直線交點得圓心坐標，再根據 ，可求出，（Ⅱ）（ⅰ）設， ，則由可得，利用直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理可得， ，消去參數可得一個等量關系，而由直線過得，解方程組可得值，即得直線方程，（ⅱ）原點到直線的距離即為的高，所以由面積可得，利用點到直線距離公式及弦長公式可得關于兩個等量關系，解方程組可得值，即得直線的傾斜角．

試題解析：（Ⅰ） ， ， 的中點為， 的斜率為

∴的垂直平分線方程為

∵圓過點、、三點，∴圓心在的垂直平分線上.

，解得或（舍）

橢圓的方程為：

（Ⅱ）設，

由可得：

， ……③

（ⅰ） 直線過， ……④

，

從而……⑤

由③④⑤可得： ，或

直線的方程為或

（ⅱ）坐標原點到直線的距離為，

……⑥

結合③：

……⑦

由⑥⑦得：

面積為，

由可得：

設直線的傾斜角為，則

由于，所以或