Question

【題目】已知函數（為常數， 是自然對數的底數），曲線在點處的切線方程是.

（1）求的值；（2）求的單調區間；

（3）設（其中為的導函數）。證明：對任意，

Answer 1

【答案】（1）;（2）單調遞增區間是，單調遞減區間是;（3）見解析.

【解析】【試題分析】（1）依據題設導數的幾何意義建立方程分析求解；（2）依據導數與函數的單調性之間的關系分析求解；（3）先將不等式進行等價轉化，再借助導數分析推證：

（1）由得.由已知得，解得.又，即， .

（2）由（1）得，令，

當時， ；當時， ，又當時， ；

當時， ， 的單調遞增區間是， 的單調遞減區間是

（3）由已知有，于是對任意等價于，由（2）知， ，易得，當時， ，即單調遞增；當時， ，即單調遞減. 的最大值為，故.設則，因此，當， 單調遞增， ，故當時， ，即..對任意