Question

【題目】某地要建造一個邊長為2（單位：km）的正方形市民休閑公園OABC，將其中的區域ODC開挖成一個池塘，如圖建立平面直角坐標系后，點D的坐標為（1，2），曲線OD是函數y=ax2圖象的一部分，對邊OA上一點M在區域OABD內作一次函數y=kx+b（k＞0）的圖象，與線段DB交于點N（點N不與點D重合），且線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P，四邊形MABN為綠化風景區：
（1）求證：b=﹣ ；
（2）設點P的橫坐標為t，①用t表示M、N兩點坐標；②將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數S=S（t），并求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：函數y=ax2過點D（1，2），

代入計算得a=2，

∴y=2x2；

由 ，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，

由線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P，

得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，

解得b=﹣

（2）解：設點P的橫坐標為t，則P（t，2t2）；

①直線MN的方程為y=kx+b，

即y=kx﹣ 過點P，

∴kt﹣ =2t2，

解得k=4t；

y=4tx﹣2t2

令y=0，解得x= ，∴M（ ，0）；

令y=2，解得x= + ，∴N（ + ，2）；

②將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數為

S=S（t）=2×2﹣ ×2×[ +（ + ）]=4﹣（t+ ）；

由t+ ≥2 = ，當且僅當t= ，即t= 時“=”成立，

所以S≤4﹣2 ；即S的最大值是4﹣

【解析】（1）根據函數y=ax2過點D，求出解析式y=2x2；由 ，消去y得△=0即可證明b=﹣ ；（2）寫出點P的坐標（t，2t2），代入①直線MN的方程，用t表示出直線方程為y=4tx﹣2t2 ， 令y=0，求出M的坐標；令y=2求出N的坐標； ②將四邊形MABN的面積S表示成關于t的函數S（t），利用基本不等式求出S的最大值．