Question

【題目】已知函數f（x）=9x﹣2a3x+3：
（1）若a=1，x∈[0，1]時，求f（x）的值域；
（2）當x∈[﹣1，1]時，求f（x）的最小值h（a）；
（3）是否存在實數m、n，同時滿足下列條件：①n＞m＞3；②當h（a）的定義域為[m，n]時，其值域為[m2 ， n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=9x﹣2a3x+3，

設t=3x，t∈[1，3]，

則φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，對稱軸為t=a．

當a=1時，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]遞增，

∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，

∴函數f（x）的值域是：[2，6]

（2）解：∵函數φ（t）的對稱軸為t=a，

當x∈[﹣1，1]時，t∈[ ，3]，

當a＜ 時，ymin=h（a）=φ（ ）= ﹣ ；

當 ≤a≤3時，ymin=h（a）=φ（a）=3﹣a2；

當a＞3時，ymin=h（a）=φ（3）=12﹣6a．

故h（a）=

（3）解：假設滿足題意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，

∴函數h（a）在（3，+∞）上是減函數．

又∵h（a）的定義域為[m，n]，值域為[m2，n2]，

則 ，

兩式相減得6（n﹣m）=（n﹣m）（m+n），

又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，與n＞m＞3矛盾．

∴滿足題意的m，n不存在

【解析】（1）設t=3x ， 則φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2 ， φ（t）的對稱軸為t=a，當a=1時，即可求出f（x）的值域；（2）由函數φ（t）的對稱軸為t=a，分類討論當a＜ 時，當 ≤a≤3時，當a＞3時，求出最小值，則h（a）的表達式可求；（3）假設滿足題意的m，n存在，函數h（a）在（3，+∞）上是減函數，求出h（a）的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對函數的最值及其幾何意義的理解，了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．