Question

已知函數f（x）=

-e2x+bx+c，x≤1 a(x21nx-x+1)+1，x＞1

，函數f（x）在x=0處取得極值1．
（I）求實數b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在區間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考點：分段函數的應用,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，由題意得，f（0）=1，f′（0）=0，求出b，c；
（Ⅱ）當a＜0時，f'（x）=a（2xlnx+x-1）＜0，f（x）在（1，2]單調遞減，f（1）取最小；當a=0時，在（1，2]上f（x）=1；當a＞0時，在（1，2]上f'（x）＞0，f（x）在（1，2]最大值為a（4ln2-1）+1．

解答： 解：（I）由題意當x=0時，f（0）=c-1=1，∴c=2，
當x＜1時，f'（x）=-2e^2x+b，
依題意得f'（0）=-2e⁰+b=0，∴b=2，
經檢驗

b=2 c=2

符合條件．
（Ⅱ）由（I）知，f(x)=

-e2x+2x+2，x≤1 a(x2lnx-x+1)+1，x＞1

①當-2≤x≤1時，f（x）=-e^2x+2x+2，f'（x）=-2e^2x+2，
令f'（x）=0得x=0，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1
f'（x）		+	0	-
f（x）	-e-4-2	遞增	極大值1	遞減	4-e2

由上表可知f（x）在[-2，1]上的最大值為1．
②當1＜x≤2時，f（x）=a（x²lnx-x+1）+1，f'（x）=a（2xlnx+x-1），
令g（x）=2xlnx+x-1，
當1＜x≤2時，顯然g（x）＞0恒成立，
當a＜0時，f'（x）=a（2xlnx+x-1）＜0，f（x）在（1，2]單調遞減，
∴f（x）＜f（1）=1恒成立．
此時函數在[-2，2]上的最大值為1；
當a=0時，在（1，2]上f（x）=1，
當a＞0時，在（1，2]上f'（x）=a（2xlnx+x-1）＞0，
∴在（1，2]上，函數f（x）為單調遞增函數．
∴f（x）在（1，2]最大值為a（4ln2-1）+1，
∵a（4ln2-1）+1＞1，
∴函數f（x）在[-2，2]上最大值為a（4ln2-1）+1．
綜上：當a≤0時，f（x）在[-2，2]上的最大值為1；
當a＞0時，f（x）在[-2，2]最大值為a（4ln2-1）+1．

點評：本題考查導數的綜合運用：求函數的極值，求函數的最值，考查分類討論的思想方法，以及函數的單調性及運用，屬于中檔題．