Question

雙曲線的兩條漸近線的方程為y=±

2

x，且經過點（3，-2

3

）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過右焦點F且傾斜角為60°的直線交雙曲線于A、B兩點，求|AB|．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）首先根據雙曲線的兩條漸近線的方程為y=±

2

x，可設雙曲線的方程為2x²-y²=λ（λ≠0），然后根據雙曲線過點（3，-2

3

），代入求解即可；
（2）設A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），過F且傾斜角為60°的直線方程為y=

3

(x-3)，和雙曲線的方程聯立，根據韋達定理，求出|AB|的值即可．

解答： 解：（1）∵雙曲線的兩條漸近線方程的方程為y=±

2

x，
∴可設雙曲線的方程為2x²-y²=λ（λ≠0），
又∵雙曲線經過點（3，-2

3

），代入方程可得λ=6，
∴所求雙曲線的方程為

x2

3

-

y2

6

=1；
（2）設A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），
過F且傾斜角為60°的直線方程為y=

3

(x-3)，
聯立，可得 

y= 3 (x-3) 2x2-y2=6

所以x²-18x+33=0，
由韋達定理得x₁+x₂=18，x₁x₂=33，
則弦長|AB|=

1+k2

|x1-x2|=2

182-4×33

=16

3

．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查了待定系數法、弦長公式，以及韋達定理的應用，屬于中檔題．