Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|（結果化為最簡形式）
（2）若f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|的最大值和最小值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用數量積的坐標運算、模的計算公式、倍角公式即可得出；
（2）利用數量積運算、二次函數的單調性、余弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3x

2

•cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，|

a

|=

cos2 3x 2 +sin2 3x 2

=1，同理可得|

b

|=1．
∴|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2+2cos2x

4cos2x

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴|

a

+

b

|=2cosx．
（2）f（x）=

a

•

b

-2|

a

+

b

|=cos2x-4cosx=2cos²x-4cosx-1=2（cosx-1）²-3，
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]．
∴當cosx=0時，f（x）取得最大值-1，當cosx=1時，f（x）取得最小值-3．

點評：本題考查了數量積的坐標運算、模的計算公式、倍角公式、二次函數的單調性、余弦函數的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題．