Question

【題目】已知橢圓的離心率為的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為．

（1）求的方程；

（2）過(guò)的右焦點(diǎn)，且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)，得到，再由的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為，即，兩式聯(lián)立求解.

（2）由消去，得（*），利用韋達(dá)定理，得到線段的垂直平分線，將點(diǎn)代入解得，再利用弦長(zhǎng)公式求得，然后求得點(diǎn)到直線AB的距離，代入三角形面積公式求解.

（1）由題意知，

所以，即，

又因?yàn)?/span>的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為，

所以，

解得，

所以的方程為．

（2）由（1）得，

設(shè)直線的斜率為，

的中點(diǎn)為，

由消去，得（*），

恒成立，，

所以，

所以線段的垂直平分線為，

將點(diǎn)代入得，解得，

所以把代入（*），得，

所以，

點(diǎn)到直線的距離，

所以．