Question

【題目】已知函數．

（1）判斷函數的單調性；

（2）若對任意時，都有，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，為常量函數，不存在單調性；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；（2）．

【解析】

（1）要判斷函數的單調性，需求導數，對進行討論；

（2）由，得， 令，計算，然后分，，三種情況討論即可.

解：（1）函數的定義域為，

，

當時，令，得；

令，得，

故函數在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，為常量函數，不存在單調性；

當時，令，得；

令，得，

故函數在上單調遞增，在上單調遞減．

（2）由，

得，

得，

得，

得，

令，

則．

由題意知，，則有，所以．

①若，則當時，，在上單調遞減，

而，不滿足；

②若，當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增，

故在上的最小值為．

由題意得，

解得，所以；

③若，則當時，，在上單調遞增，又，

故時，恒成立．

綜上，實數a的取值范圍是