Question

【題目】已知函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.

（1）討論函數f(x)在區間上的單調性；

（2）將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍,縱坐標不變,得到函數的圖象．求在上的值域．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析（2）

【解析】

（1）首先利用二倍角公式、降次公式以及輔助角公式，將化簡為的形式，利用相鄰兩條對稱軸之間的距離得到半周期，從而求得的值.再利用正弦函數的單調性求得函數在區間上的遞增和遞減區間.（2）根據圖像變換得到的表達式，然后利用定義域的范圍，利用三角函數值域的求法，來求得的值域.

解：(1)f(x)＝－ ＋1＝sin ＋ ，因為相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以T＝π，即 ＝π，所以ω＝1.

故.

若，則，當，即時，單調遞增；

當，即時，單調遞減.所以f(x)在區間單調遞增，在區間單調遞減．

（2）由（1），將函數的圖象向左平移個單位得到， 的圖象．再將所得圖象各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象．因此．

因為，所以，當時，取得最大值；當時，取得最小值.

故在上的值域為.