Question

【題目】已知圓（為坐標原點），直線.

（1）過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，求四邊形面積的最小值.

（2）過點的直線分別與圓交于點（不與重合），若，試問直線是否過定點？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）過定點，理由見解析

【解析】

（1）由，得過點的切線長，所以四邊形的面積為，即可得到本題答案；

（2）設直線的方程為，則直線的方程為.

聯立方程，消去，整理得，

得，，

所以，令，即可得到本題答案.

（1）由題意可得圓心到直線的距離為，從而，

則過點的切線長.

故四邊形的面積為，即四邊形面積的最小值為12.

（2）因為，所以直線與直線的斜率都存在，且不為0.

設直線的方程為，則直線的方程為.

聯立方程，消去，整理得

解得或，則.

同理可得.

所以.

令，得，解得.

取，可以證得，所以直線過定點.

當時，軸，易知與均為正三角形，直線的方程為，也過定點.

綜上，直線過定點.