Question

已知函數f（x）=

cosx

x

（x＞0），g（x）=sinx-ax（x＞0）．
（Ⅰ）函數f（x）=

cosx

x

（x＞0）的零點從小到大排列，記為數列{x_n}，求{x_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設點P是函數φ（x）與ω（x）圖象的交點，若直線l同時與函數φ（x），ω（x）的圖象相切于P點，且函數φ（x），ω（x）的圖象位于直線l的兩側，則稱直線l為函數φ（x），ω（x）的分切線．
探究：是否存在實數a，使得函數f（x）與g（x）存在分切線？若存在，求出實數a的值，并寫出分切線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據函數零點的定義得

cosx

x

=0，由x的范圍和余弦函數的特殊值，判斷出數列{x_n}是等差數列，代入等差數列的通項公式求出S_n；
（Ⅱ）由f（x）≥g（x）分離出常數a，再構造函數φ(x)=

xsinx-cosx

x2

，求出導數判斷出單調性求出函數的極大值、最大值，即求出a的范圍；
（Ⅲ）根據條件得：“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”在（0，+∞）上恒成立，根據極限思想進行排除，再根據a的范圍求出函數圖象的交點坐標，求出切線方程后利用導數，分別判斷出函數f（x）、g（x）的圖象與切線的位置關系．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，

cosx

x

=0（x＞0），則cosx=0，
∴x=

π

2

+kπ，則x_n=

π

2

+(n-1)π，
∴數列{x_n}是以π為公差、以

π

2

為首項的等差數列，
則S_n=

nπ

2

+

n(n-1)π

2

=

n2π

2

；
（Ⅱ）∵f（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴

cosx

x

≥sinx-ax，得a≥

xsinx-cosx

x2

，
設φ(x)=

xsinx-cosx

x2

，
則φ′(x)=

(xsinx-cosx)′x2-(xsinx-cosx)(x2)′

x4

=

cosx(x2+2)

x3

∵x＞0，x²+2＞0，
∴φ（x）在區間(0，

π

2

)上單調遞增，在區間(

π

2

，

3π

2

)上單調遞減，
在區間(

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ)(k∈z)上單調遞減，
在區間(

3π

2

+2kπ，

5π

2

+2kπ)(k∈z)上單調遞增，
∴φ（x）的極大值為φ(

π

2

+2kπ)=

1

π 2 +2kπ

(k∈N)，
故φ（x）的最大值為φ(

π

2

)=

2

π

，
所以a≥

2

π

，
（Ⅲ）若函數f（x）與g（x）存在分切線，則有“f（x）≥g（x）”或“f（x）≤g（x）”
在（0，+∞）上恒成立，
當x→0時，f（x）=

cosx

x

→+∞，g（x）=sinx-ax→0，
∴?x₀∈（0，?）使得f（x）＞g（x），∴f（x）≤g（x）在（0，+∞）上不恒成立，
∴只能是f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，
由（Ⅱ）得，a≥

2

π

，∵函數f（x）與g（x）必須存在交點，
∴a=

2

π

，
當a=

2

π

時，函數f（x）與g（x）的交點為：(

π

2

，0)，
∴f′(

π

2

)=-

2

π

=g′(

π

2

)，
則存在直線y=-

2

π

x+1在點(

π

2

，0)處同時與f（x）、g（x）相切，
故猜測函數f（x）與g（x）分切線為：y=-

2

π

x+1，證明如下：
①∵f(x)-(-

2

π

x+1)=

cosx+ 2 π x2-x

x

，
設h(x)=cosx+

2

π

x2-x，則h′(x)=-sinx+

4

π

x-1，
設t(x)=-sinx+

4

π

x-1，則t′(x)=-cosx+

4

π

＞0，
∴h′（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴h′（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點，
∵h′(

π

2

)=0，∴h，（x）在（0，

π

2

）上單調遞減，在（

π

2

，+∞）上單調遞增，
∴h(x)≥h(

π

2

)=0，∴f(x)-(-

2

π

x+1)≥0
即f(x)≥-

2

π

x+1在（0，+∞）上恒成立，
∴函數f（x）的圖象位于直線y=-

2

π

x+1的上方，
②∵g(x)-(-

2

π

x+1)=sinx-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴函數g（x）的圖象位于直線y=-

2

π

x+1的下方，
由此可知，函數f（x）與g（x）存在分切線：y=-

2

π

x+1，
當a=

2

π

時，函數f（x）與g（x）存在分切線為：y=-

2

π

x+1．

點評：本題考查三角函數、導數及應用，等差數列等基礎知識，考查運算求解能力、等價轉化能力，化歸與轉化、函數與方程、有限與無限等數學思想方法．