Question

將半徑分別為2和1的兩個(gè)球完全裝入底面邊長(zhǎng)為4的正四棱柱容器中，則該容器的高至少為（　　）

• A、6
• B、3+2

  2

• C、3+

  7

• D、3+

  6

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：作正四棱柱的對(duì)角面ABCD，其中AB=底面對(duì)角線=4

2

，BC=高h(yuǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)分別是M，可得O₂與AD的距離=

1

2

MB=

2

，利用O₁O₂²=（h-3）²+（2

2

-

2

）²=9，即可求出h．

解答： 解：作正四棱柱的對(duì)角面ABCD，其中AB=底面對(duì)角線=4

2

，BC=高h(yuǎn)，
設(shè)AB的中點(diǎn)分別是M，半徑為2的球O₁與下底面相切于M，半徑為1的球O₂與球O₁，及兩側(cè)面、上底面相切，
∴O₂與AD的距離=

1

2

MB=

2

，
∴O₁O₂²=（h-3）²+（2

2

-

2

）²=9，
∴h²-6h+2=0，
∵h(yuǎn)＞3，
∴h=3+

7

，為所求．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正四棱柱，考查球與正四棱柱相切，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．