Question

已知雙曲線

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，以|F₁F₂|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（3，4），則此雙曲線的方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，點（3，4）到原點的距離等于半焦距，可得a²+b²=25．由點（3，4）在雙曲線的漸近線上，得到

b

a

=

4

3

，兩式聯(lián)解得出a=3且b=4，即可得到所求雙曲線的方程．

解答： 解：∵點（3，4）在以|F₁F₂|為直徑的圓上，
∴c=5，可得a²+b²=25…①
又∵點（3，4）在雙曲線的漸近線y=

b

a

x上，
∴

b

a

=

4

3

…②，
①②聯(lián)解，得a=3且b=4，可得雙曲線的方程

x2

9

-

y2

16

=1．
故答案為：

x2

9

-

y2

16

=1．

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的方程，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．