Question

直角坐標(biāo)系xOy和極坐標(biāo)系Ox的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合，x軸正半軸與極軸重合，單位長度相同，圓C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sinθ+1

（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為θ=

π

4

（ρ∈R）．
（1）求圓C及直線l的普通方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求

CA

•

CB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用平方關(guān)系，消去參數(shù)可得圓的方程，由直線l的極坐標(biāo)方程為θ=

π

4

，可得直角坐標(biāo)方程；
（2）求出圓心C（0，1）到直線x-y=0的距離，以及cos∠ACB的值，利用數(shù)量積的公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）圓C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sinθ+1

（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系，消去參數(shù)可得圓的方程為x²+（y-1）²=4，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=

π

4

的直角坐標(biāo)方程為x-y=0；
（2）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，圓心C（0，1），半徑r=2，
∵圓心C（0，1）到直線x-y=0的距離為

2

2

設(shè)∠CAB=2α，則cosα=

2

4

，
∴cos2α=2×

2

16

-1=-

7

8

∴

CA

•

CB

=4×（-

7

8

）=-

7

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，屬于基礎(chǔ)題．