Question

【題目】已知點O是四邊形內一點，判斷結論：“若，則該四邊形必是矩形，且O為四邊形的中心”是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】該結論不正確,見解析

【解析】

設O是四邊形內一點，過點A作且，連接，過點B作且，連接，，利用平面向量加法的平行四邊形法則，可證得點O為與的中點的連線的中點；同理可證得點O也為與的中點的連線的中點，故點O是四邊形對邊中點連線的交點，且該四邊形不一定是矩形.

該結論不正確．

當四邊形是矩形，點O是四邊形的中心時，必有，反之未必成立．

如圖所示，設O是四邊形內一點，

過點A作且，連接，則四邊形為平行四邊形，

設與的交點為M．過點B作且，連接，，

則四邊形為平行四邊形，

設與交于點N，于是M，N分別是，的中點．

∴，．又，

∴，且點O是公共點，點M，N分別在，上，

故M，O，N三點共線，且點O為的中點，

即點O為與的中點的連線的中點．

同理可證：點O也為與的中點的連線的中點，

∴點O是四邊形對邊中點連線的交點，且該四邊形不一定是矩形．