Question

【題目】某地發生地質災害，使當地的自來水受到了污染，某部門對水質檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈化水質．已知每投放質量為m的藥劑后，經過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足，其中，當藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時稱為有效凈化；當藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時稱為最佳凈化．

（1）如果投放的藥劑質量為m=4，試問自來水達到有效凈化一共可持續幾天？

（2）如果投放的藥劑質量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內的自來水達到最佳凈化，試確定應該投放的藥劑質量m的最小值．

Answer 1

【答案】（1）16天（2）

【解析】

(1)由題意首先得到該藥劑在水中釋放的濃度的解析式，然后求解不等式即可確定自來水達到有效凈化一共可持續的天數.

（2）由確定各段的單調性，求出值域，然后將原問題轉化為恒成立的問題可得m的最小值.

（1）由題意，當藥劑質量為m=4，所以

當時，顯然符合題意．
當x＞4時，解得，

綜上，

所以自來水達到有效凈化一共可持續16天．
（2）由，得：

在區間（0，4]上單調遞增，即；
在區間（4，7]上單調遞減，即，
綜上，
為使恒成立，只要且即可，

即所以應該投放的藥劑質量m的最小值為