Question

蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f（n）表示第n個圖的蜂巢總數．
（1）試給出f（4），f（5）的值；
（2）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f（n+1）與f（n）之間的關系式，并根據你得到的關系式求出f（n）的表達式；
（3）證明：

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＜

4

3

．

Answer 1

考點：數學歸納法,歸納推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：（1）根據圖象的規律可得f（4）和f（5）的值．
（2）根據相鄰兩項的差的規律可分析得出f（n+1）-f（n）=6n，進而根據合并求和的方法求得f（n）的表達式；
（3）根據（2）中求得的f（n）可得

1

f(n)

的表達式，進而利用裂項的方法證明原式．

解答： （1）解：f（4）=37，f（5）=61．
（2）解：由于f（2）-f（1）=7-1=6，
f（3）-f（2）=19-7=2×6，
f（4）-f（3）=37-19=3×6，
f（5）-f（4）=61-37=4×6，
因此，有f（n+1）-f（n）=6n，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）
=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n²-3n+1．
又f（1）=1=3×1²-3×1+1，所以f（n）=3n²-3n+1．
（3）證明：當k≥2時，

1

f(k)

=

1

3k2-3k+1

＜

1

3k2-3k

=

1

3

（

1

k-1

-

1

k

）
所以

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＜1+

1

3

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]=1+

1

3

（1-

1

n

）＜1+

1

3

=

4

3

．

點評：本題主要考查了數列的求和問題．數列的求和是數列的重要內容之一，出等差數列和等比數列外，大部分的數列求和都需要一定的技巧，如裂項法、倒序相加，錯位相減，分組求和等．