Question

經過橢圓

x2

2

+y²=1的左焦點F₁作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A，B兩點，求AB的長．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出橢圓的左焦點F₁（-1，0），根據點斜率式設AB，方程與橢圓方程消去y，利用根與系數的關系，根據弦長公式即可算出弦AB的長．

解答： 解：∵橢圓方程為

x2

2

+y²=1，
∴焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵直線AB過左焦點F₁傾斜角為60°，
∴直線AB的方程為y=

3

（x+1），
將AB方程與橢圓方程消去y，得7x²+12x+4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁+x₂=-

12

7

，x₁x₂=

4

7

∴|x₁-x₂|=

(- 12 7 )2-4× 4 7

=

4 2

7

因此，|AB|=

1+3

•|x₁-x₂|=

8 2

7

．

點評：本題給出橢圓經過左焦點且傾角為30度的弦AB，求弦長．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．