Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_n+1=a_n²+a_n，則

1

a1+1

+

1

a2+1

+

1

a3+1

+…+

1

a2014+1

的值所在區間是（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，2）
• C、（2，3）
• D、（3，4）

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據數列的遞推關系得到

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，利用裂項法進行求和，即可得到結論．

解答： 解：由a_n+1=a_n²+a_n，
得a_n+1=a_n（a_n+1），
取倒數得

1

an+1

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，
則

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
即m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=

1

a1

+

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2014

-

1

a2015

=4-

1

a2015

，
∵a_n+1=a_n²+a_n＞a_n，
∴

1

an+1

＜

1

an

∴1＜

1

a2015

＜

1

a2014

＜…＜

1

a1

=2，
即-1＞-

1

a2015

＞-2，
則3＞4-

1

a2015

＞2，
即2＜m＜3
故m所在的區間為（2，3），
故選：C

點評：本題主要考查遞推數列的應用．根據遞推公式求出

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

是解決本題的關鍵．難度較大．