Question

設{a_n}是首項為1，公差為d的等差數列（d≠0），其前n項的和為S_n．記b_n=

nSn

n2+c

，n∈N^*，其中c為實數．
（1）若數列{b_n}是等差數列，求c的值．
（2）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比數列，證明：

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

＜

3

2

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）設b_n=an+b，根據{a_n}是首項為1，公差為d的等差數列（d≠0），b_n=

nSn

n2+c

，建立方程組，即可求c的值．
（2）求出數列的通項，利用放縮，再裂項求和，即可證明結論．

解答： （1）解：∵數列{b_n}是等差數列，∴設b_n=an+b，
∵{a_n}是首項為1，公差為d的等差數列（d≠0），b_n=

nSn

n2+c

，
∴

n2+ n2(n-1) 2 d

n2+c

=an+b，
∴

d

2

n3+（1-

d

2

）n²=an³+bn²+cn+bc，
∴

a= d 2 b=1- d 2 ac=0 bc=0

，
若c≠0，則a=b=0，∴

d 2 =0 1- d 2 =0

矛盾，
∴c=0…（6分）
（2）證明：∵b_n=

Sn

n

=1+

n-1

2

d
又b₁，b₂，b₄成等比數列，
∴(1+

d

2

)2=1+

3

2

d，
∴d=2，
∴a_n=2n-1，b_n=n
∴

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

=

1

1×1

+

1

2×3

+…+

1

n(2n-1)

＜1+

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=1+

1

2

（1-

1

n

）=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

．…（13分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查數列的通項，考查放縮、裂項法求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．