Question

已知函數f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

)，
（1）若cos(ϕ+

π

2

)=-

2

2

，求ϕ的值；
（2）若f（x）最大值與最小值之差等于4，其相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

3

，求函數f（x）的解析式；
（3）在（2）的條件下，求最小正實數m，使f（x）圖象向右平移m個單位對應的函數是偶函數（只需寫出m的值，可不寫步驟）

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值

分析：（1）由條件利用誘導公式求得sinϕ 的值，結合|ϕ|＜

π

2

，可得ϕ=

π

4

．
（2）由f（x）=Asin（ωx+ϕ）的最大值與最小值之差等于4，可得A=2．再根據其相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

3

，求得ω=3，可得函數的解析式．
（3）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律可得y=2sin（3x+

π

4

-3m）為偶函數，可得

π

4

-3m=kπ+

π

2

，k∈z，由此可得m的最小正值．

解答： 解：（1）∵cos(ϕ+

π

2

)=-

2

2

=-sinϕ，∴sinϕ=

2

2

．
結合|ϕ|＜

π

2

，可得ϕ=

π

4

．
（2）由f（x）=Asin（ωx+ϕ）的最大值與最小值之差等于4，可得A=2．
再根據其相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

3

，可得

1

2

•

2π

ω

=

π

3

，求得ω=3．
故函數的解析式為 f(x)=2sin(3x+

π

4

)．
（3）由于f（x）圖象向右平移m個單位對應的函數是y=2sin[3（x-m）+

π

4

]=2sin（3x+

π

4

-3m）為偶函數，
∴

π

4

-3m=kπ+

π

2

，k∈z，求得m=-

k

3

π-

π

12

，故當k=-1時，得到m的最小正值為

π

4

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數、余弦函數的奇偶性，屬于基礎題．