Question

【題目】如圖所示的幾何體中，和均為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求二面角的大小；

（3）設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，使得平面平面，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，得出，，根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，則，建立以為原點(diǎn)，，，為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明；

（2）求出平面的法向量和平面的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角的大小；

（3）設(shè)，，，求出，，，令，則，解得為的中點(diǎn)，利用向量法能求出線段的長(zhǎng)．

解：依題意得，和均為以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

則，，

所以面，

又，可以建立以為原點(diǎn)，

分別以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），

可得，，，，，，，

（1）證明：由題意，，，

因?yàn)?/span>，所以.

（2）解：，，

設(shè)為平面的法向量，則

，即，

不妨令，可得，

平面的一個(gè)法向量，

因此有，

由圖可得二面角為銳二面角，

所以二面角的大小為.

（3）解：（方法一）設(shè)，，

所以，因此，

令，即，

解得，即為的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>平面，平面，，

所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，

此時(shí)即，

，

所以線段的長(zhǎng)為.

（方法二）設(shè)，，

所以，因此，

設(shè)為平面的法向量，

則，即，

不妨令，可得，

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，

解得：，

此時(shí)即，，

所以線段的長(zhǎng)為.