Question

【題目】已知，分別是雙曲線的左，右焦點，過點向一條漸近線作垂線，交雙曲線右支于點，直線與軸交于點（，在軸同側），連接，若的內切圓圓心恰好落在以為直徑的圓上，則的大小為________；雙曲線的離心率為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖所示：不妨取漸近線，易知，設內切圓圓心為，根據對稱性知在軸上，得到，根據距離相等得到直線：，聯立方程得到，代入雙曲線方程，計算得到答案.

如圖所示：不妨取漸近線，易知，（否則不能與右支相交）.

則直線為：，即，

設內切圓圓心為，根據對稱性知在軸上，

的內切圓圓心恰好落在以為直徑的圓上，故，故，

到直線的距離為：，

設直線：，即

到直線的距離為：，

化簡整理得到，解得或，

當時，直線與的交點橫坐標為，不滿足題意，舍去.

故直線：，故，，

聯立方程得到，解得，

代入雙曲線方程得到：，化簡整理得到：，故.

故答案為：；.