Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為 3 的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=3，F 是棱 PA上的一個動點，E為PD的中點．
（Ⅰ）若 AF=1，求證：CE∥平面 BDF；
（Ⅱ）若 AF=2，求平面 BDF 與平面 PCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）如圖所示，取PF中點G，連接EG，CG． 連接AC交BD于O，連接FO．

由題可得F為AG中點，O為AC中點，
∴FO∥GC；
又G為PF中點，E為PD中點，
∴GE∥FD．
又GE∩GC=G，GE、GC面GEC，
FO∩FD=F，FO，FD面FOD．
∴面GEC∥面FOD．
∵CE面GEC，
∴CE∥面BDF；
（Ⅱ）解：∵底面ABCD是邊長為 3 的菱形，
∴AC⊥BD，設交點為O，以O為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
則B（0，﹣ ，0），D（0， ，0），P（﹣ ，0，3），C（ ，0，0），F（- ，0，2）．
則 ， ， ， ．
設平面BDF的一個法向量為 ，
則 ，取z=3，得 ．
設平面PCD的一個法向量為 ，
則 ，取y= ，得 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴平面 BDF 與平面 PCD所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取PF中點G，連接EG，CG．連接AC交BD于O，連接FO．由三角形中位線定理可得FO∥GC，GE∥FD．然后利用平面與平面平行的判定得到面GEC∥面FOD，進一步得到CE∥面BDF；（Ⅱ）由底面ABCD是邊長為 3 的菱形，可得AC⊥BD，設交點為O，以O為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，求出所用點的坐標，再求出平面 BDF 與平面 PCD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得平面 BDF 與平面 PCD所成的銳二面角的余弦值．