Question

【題目】【2016高考江蘇卷】已知函數.設.

（1）求方程的根;

（2）若對任意,不等式恒成立，求實數的最大值；

（3）若，函數有且只有1個零點，求的值。

Answer 1

【答案】（1）①0 ②4（2）1

【解析】

試題分析：（1）①根據指數間倒數關系轉化為一元二次方程，求方程根②根據指數間平方關系，將不等式轉化為一元不等式，再利用變量分離轉化為對應函數最值，即的最小值，最后根據基本不等式求最值（2）先分析導函數零點情況：唯一零點，再確定原函數單調變化趨勢：先減后增，從而結合圖像確定唯一零點必在極值點取得，而，因此極值點必等于零，進而求出的值.本題難點在證明，這可利用反證法：若，則可尋找出一個區間，由結合零點存在定理可得函數存在另一零點，與題意矛盾，其中可取；若，同理可得.

試題解析：（1）因為，所以.

①方程，即，亦即，

所以，于是，解得.

②由條件知.

因為對于恒成立，且，

所以對于恒成立.

而，且，

所以，故實數的最大值為4.

（2）因為函數只有1個零點，而，

所以0是函數的唯一零點.

因為，又由知，

所以有唯一解.

令，則，

從而對任意，，所以是上的單調增函數，

于是當，；當時，.

因而函數在上是單調減函數，在上是單調增函數.

下證.

若，則，于是，

又，且函數在以和為端點的閉區間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點，記為. 因為，所以，又，所以與“0是函數的唯一零點”矛盾.

若，同理可得，在和之間存在的非0的零點，矛盾.

因此，.

于是，故，所以.