Question

【題目】在公差不為零的等差數列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比數列．數列{bn}滿足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.

(1)求{an}，{bn}的通項公式；

(2)設數列的前n項和為Sn，試比較Sn與1－的大小．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)設數列{an}的公差為d.

因為a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比數列，

所以a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1·(1＋4d)，

所以d2－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)．

所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

因為bn＋1＝2bn－1，所以bn＋1－1＝2(bn－1)．

所以{bn－1}是首項為b1－1＝2，公比為2的等比數列．

所以bn－1＝2×2n－1＝2n.

所以bn＝2n＋1.

(2)因為＝＝－，

所以Sn＝＋＋…＋＝1－，

于是Sn－＝1－－1＋＝－＝.

所以當n＝1,2時，2n＝2n，Sn＝1－；

當n≥3時，2n<2n，Sn<1－.