Question

【題目】已知長方形ABCD中，AB＝3，AD＝4.現將長方形沿對角線BD折起，使AC＝a，得到一個四面體A－BCD，如圖所示.

(1)試問：在折疊的過程中，直線AB與CD能否垂直？若能，求出相應a的值；若不能，請說明理由；

(2)求四面體A－BCD體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】
試題分析：（1）假設，又，則平面，得到，解得；（2）易知，翻折到平面平面時，體積最大，則底面為，高為，求得最大體積為。

(1)直線AB與CD能夠垂直.

因為AB⊥AD，若AB⊥CD，AD∩CD＝D，

則有AB⊥平面ACD，

從而AB⊥AC.

此時，a＝＝＝，

即當a＝時，有AB⊥CD.

(2)由于△BCD面積為定值，所以當點A到平面BCD的距離最大，即當平面ABD⊥平面BCD時，該四面體的體積最大，

此時，過點A在平面ABD內作AH⊥BD，垂足為H，

則有AH⊥平面BCD，AH就是該四面體的高.

在△ABD中，AH＝＝，

S△BCD＝×3×4＝6，

此時VA－BCD＝S△BCD·AH＝，即為該四面體體積的最大值.