Question

【題目】【2017屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期六調(diào)】已知函數(shù)，其中均為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題對(duì) 得，研究其單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值；

（2）由題當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，

由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，

則等價(jià)于，

即，

故又構(gòu)造函數(shù)，

可知在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，

即在區(qū)間上恒成立，

∴，設(shè)

則，

∵，

∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，

∴在區(qū)間上的最大值，∴，

試題解析：（1）由題得，，

令，得．，

列表如下：

		1
	大于0	0	小于0
		極大值

∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，無(wú)極小值；

（2）當(dāng)時(shí)，，

∵在區(qū)間上恒成立，

∴在區(qū)間上為增函數(shù)，

設(shè)，

∵在區(qū)間上恒成立，

∴在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，

則等價(jià)于，

即，

設(shè)，

則在區(qū)間上為減函數(shù)，

∴在區(qū)間上恒成立，

∴在區(qū)間上恒成立，

∴，

設(shè)，

∵，

∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，

∴在區(qū)間上的最大值，∴，

∴實(shí)數(shù)的最小值為．