Question

【題目】已知f（x）=lnx，g（x）= +mx+ （m＜0），直線l與函數f（x）的圖象相切，切點的橫坐標為1，且直線l與函數g（x）的圖象也相切．
（1）求直線l的方程及實數m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的導函數），求函數h（x）的最大值；
（3）當0＜b＜a時，求證：f（a+b）﹣f（2a）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴f'（1）=1．

∴直線l的斜率為1，且與函數f（x）的圖象的切點坐標為（1，0）．

∴直線l的方程為y=x﹣1．

又∵直線l與函數y=g（x）的圖象相切，

∴方程組 有一解．

由上述方程消去y，并整理得x2+2（m﹣1）x+9=0①

依題意，方程①有兩個相等的實數根，

∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0

解之，得m=4或m=﹣2

∵m＜0，∴m=﹣2．

（2）解：由（1）可知 ，

∴g'（x）=x﹣2∴h（x）=ln（x+1）﹣x+2（x＞﹣1）．

∴ ．（7分）

∴當x∈（﹣1，0）時，h'（x）＞0，當x∈（0，+∞）時，h'（x）＜0．

∴當x=0時，h（x）取最大值，其最大值為2

（3）解：f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln =ln（1+ ）．

∵0＜b＜a，∴﹣a，∴ ．

由（2）知當x∈（﹣1，0）時，h（x）＜h（0）∴當x∈（﹣1，0）時，ln（1+x）＜x，

ln（1+ ）＜ ．∴f（a+b）﹣f（2a）＜

【解析】（1）先根據導數的幾何意義求出函數在x=1處的導數，得到切線的斜率，再利用點斜式方程求出切線方程，最后將切線方程與 聯立方程組，使方程組只有一解，利用判別式建立等量關系，求出m即可；（2）先求出h（x）的解析式，根據極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值；（3）f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln =ln（1+ ）．由（2）知當x∈（﹣1，0）時，h（x）＜h（0）由ln（1+x）＜x，
ln（1+ ）＜ 即可得出f（a+b）﹣f（2a）＜ ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最大(小)值與導數和不等式的證明的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．