Question

【題目】設f（x）=﹣ x3+ x2+2ax．
（1）若f（x）在（ ，+∞）上是單調減函數，求實數a的取值范圍．
（2）當0＜a＜2時，f（x）在[1，4]上的最小值為﹣ ，求f（x）在該區間的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ．

當 時，f'（x）的最大值為 ．

因為f（x）在 上是單調減函數，則f'（x）≤0在 上成立，

所以 ，解得 ，故所求實數a的取值范圍為

（2）解：令 ．

因為當x＜x1或x＞x2時f'（x）＜0，當x1＜x＜x2時f'（x）＞0

所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上單調遞減，在（x1，x2）上單調遞增．

當0＜a＜2時，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（x2），

又 ．

所以f（x）在[1，4]上的最小值為 ．

得a=1，x2=2，從而f（x）在[1，4]上的最大值為

【解析】（1）由已知得f′（x）=﹣x2+x+2a，求出函數的最值，繼而得到a的取值范圍．（2）先根據導數求出極值點．在判斷函數的再某個區間上的單調性，根據單調性得到最值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．