Question

【題目】數列{an}滿足：a1= ，前n項和Sn= an ，
（1）寫出a2 ， a3 ， a4；
（2）猜出an的表達式，并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，

∴令n=2， ，即a1+a2=3a2．∴ ．

令n=3，得 ，即a1+a2+a3=6a3，∴ ．

令n=4，得 ，a1+a2+a3+a4=10a4，∴

（2）

解：猜想 ，下面用數學歸納法給出證明．

①當n=1時， 結論成立．

②假設當n=k時，結論成立，即 ，

則當n=k+1時，

= ，

即 ．

∴

∴ ．

∴當n=k+1時結論成立．

由①②可知，對一切n∈N+都有 成立

【解析】（1）根據 ，利用遞推公式，分別令n=2，3，4．求出a1 ， a2 ， a3 ， a4；（2）根據（1）求出的數列的前四項，從而總結出規律猜出an ， 然后利用數學歸納法進行證明即得．
【考點精析】關于本題考查的數列的通項公式，需要了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．