Question

【題目】如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中點．
（1）求證：平面CFM⊥平面BDF；
（2）點N在CE上，EC=2，FD=3，當CN為何值時，MN∥平面BEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD

∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，

連接DM，則DM⊥AB，

∵AB∥CD，∠BCD=90°，

∴四邊形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，

∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF

（2）解：（2）當CN=1，即N是CE的中點時，MN∥平面BEF．

證明如下：

過N作NO∥EF，交ED于O，連結MO，

∵EC∥FD，∴四邊形EFON是平行四邊形，

∵EC=2，FD=3，∴OF=1，∴OD=2，

連結OE，則OE∥DC∥MB，且OE=DC=MB，

∴四邊形BMOE是平行四邊形，則OM∥BE，又OM∩ON=O，

∴平面OMN∥平面BEF，

∵MN平面OMN，∴MN∥平面BEF．

【解析】（1）推導出四邊形BCDM是正方形，從而BD⊥CM，又DF⊥CM，由此能證明CM⊥平面BDF．（2）過N作NO∥EF，交EF于O，連結MO，則四邊形EFON是平行四邊形，連結OE，則四邊形BMON是平行四邊形，由此能推導出N是CE的中點時，MN∥平面BEF．