Question

【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率,其中一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為若點(diǎn)滿足: 其中是上的點(diǎn).直線的斜率之積為,試說(shuō)明:是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值?若存在,求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)詳見解析.

【解析】試題分析: (Ⅰ)根據(jù)離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)以及求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)由于點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為,通過可建立點(diǎn)T和點(diǎn)M,N坐標(biāo)之間的關(guān)系式,通過直線的斜率之積為定值,又得到另外一個(gè)關(guān)系式,且點(diǎn)M,N的坐標(biāo)滿足橢圓的方程,均為二次,因此給兩等式分別平方,再對(duì)應(yīng)系數(shù)比為1:2,相加即可得到關(guān)于x,y的方程,即點(diǎn)T的軌跡為橢圓,兩個(gè)定點(diǎn)為焦點(diǎn).

試題解析:(Ⅰ)由題意知, 所以所以

故橢圓的方程為

(Ⅱ)設(shè)則

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，所以

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為

由得

設(shè)分別為直線的斜率，由已知條件知,所以

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以

故

從而知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，所以，存在兩個(gè)定點(diǎn)且為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，使得為定值.其坐標(biāo)分別為