Question

【題目】（文科）已知的橢圓的左、右兩個焦點分別為，上頂點， 是正三角形且周長為6.

(1)求橢圓的標準方程及離心率；

(2) 為坐標原點， 是直線上的一個動點，求的最小值，并求出此時點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) ， .

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的定義和周長為，建立關于的方程組，解之得且，即可得到橢圓的標準方程，用離心率的公式即可得到該橢圓的離心率；（2）設直線的方程為，求出原點關于直線的對稱點的坐標為，從而得到的最小值為，再由的方程與方程聯解，即可得到此時點的坐標.

試題解析：(1)由題意，

解得.

所以橢圓的標準方程為，離心率.

(2)因為是正三角形，可得直線的斜率為，

所以直線的方程為.

設點關于直線的對稱點為，則

解得，可得坐標為.

因為，所以.

所以的最小值，

直線的方程為，

即.

由解得，

所以此時點的坐標為.

綜上所述，可求的的最小值為，此時點的坐標為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓標準方程及曲線過定點問題，屬于難題.解決曲線過定點問題一般有兩種方法：① 探索曲線過定點時，可設出曲線方程 ，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于曲線系的思想找出定點，或者利用方程恒成立列方程組求出定點坐標.② 從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關.