Question

【題目】已知橢圓：經過點，右焦點到直線的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）定義為，兩點所在直線的斜率，若四邊形為橢圓的內接四邊形，且，相交于原點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據題意易得和，解出方程組即可得橢圓的標準方程；

（2）設，，易得，直線的方程為，與橢圓方程聯立與韋達定理相結合可得，根據對稱性知，的斜率一個是，另一個就是，故而可得結果.

（1）解：設橢圓：的半焦距為，

因為橢圓：經過點，

所以，即，

因為橢圓的右焦點到的距離為，所以.

再由解得，，，

所以橢圓的標準方程為.

（2）證明：設，，

因為，所以，所以.

設直線的方程為，

聯立，得，

∴，

，

∵，又，

∴，

∴.

整理得，∴.

∵，，，可以輪換，

∴，的斜率一個是，另一個就是，

∴